高等数学笔记

1. 函数与极限

1.1 映射与函数

1.1.1 映射

$映射的集合记法 f: X \to Y ,元素关系 y = f(x)$
对每个 $x \in X$ ，元素x的像y是唯一的,而y的原像x不一定唯一。
当Y中每个元素y都是X中元素的像，则称此映射为满射。
若每个y对应唯一x，则称为单射。
若映射f既是单射又是满射，则称为一一映射或者双射。
只有单射才有逆映射。
当$g: X \to Y1 , f: Y2 \to Z $，其符合映射记为$ f \circ g: X \to Z$

1.1.2 函数

自然定义域：使函数有意义的最大定义域。
反函数：设函数 $f:D \to f(D)$ 是单射，则它存在逆映射 $f^{-1}:f(D) \to D$ ，称此映射 $f^{-1}$ 为函数 $f$ 的反函数。
函数与它的反函数关于直线 $y=x$ 对称。
复合函数: $f \circ g =f[g(x)]$

1.1.3 函数特性：

有界性：有界、有上界、有下界
单调性：
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，区间 $I \sub D$ 。如果对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1$ 及 $x_2$ ，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有$$f(x_1) < f(x_2)$$那么称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是单调增加的；如果对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1$ 及 $x_2$ ，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有$$f(x_1) > f(x_2)$$那么称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
奇偶性：
设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称。如果对于任意 $x \in D$ ，有$$f(-x)=f(x)$$恒成立，则称 $f(x)$ 为偶函数。如果对于任意 $x \in D$ ，有$$f(-x)=-f(x)$$恒成立，则称 $f(x)$ 为奇函数。
奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称
周期性：
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，如果存在一个正数 $l$ ，使得对于任意 $x \in D$ 有 $(x \pm l \in D)$ ，且$$f(x+l)=f(x)$$恒成立，则称 $f(x)$ 为周期函数， $l$ 称为 $f(x)$ 的周期。通常我们说的周期为最小正周期。

例题

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-l,l)$ ，证明必存在 $(-l,l)$ 上的偶函数 $g(x)$ 和奇函数 $h(x)$ ，使得

$f(x)=g(x)+h(x)$

1.1.4 初等函数

基本初等函数：
幂函数： $y=x^a(a \in R)$
指数函数： $y=a^x(a>0 \, and \, a \neq 1)$
对数函数：$y=\log_a x(a>0 , and , a \neq 1, y= \ln x,,when, a=e ) $三角函数：$ y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x $反三角函数：$ y=\arcsin x,y=\arccos x,y=\arctan x$

初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的可以用一个式子表示的函数，称为初等函数。

双曲正弦： $\sh x = \frac{e^x - e ^{-x}}{2}$
双曲余弦： $\ch x = \frac{e^x + e ^{-x}}{2}$
双曲正切： $\th x = \frac{\sh x}{\ch x}=\frac{e^x - e ^{-x}}{e^x + e ^{-x}}$
反双曲正弦： $arsh x = \ln (x + \sqrt{x^x + 1})$
反双曲余弦： $arch x = \ln (x + \sqrt{x^x - 1})$
反双曲正切： $arth x = \frac{1}{2}\ln (\frac{1+x}{1-x})$

注意：
1 初等函数在定义区间是连续的，注意定义区间是定义域的子集。
2 绝对值函数是初等函数，因为绝对值函数可表示为 $y = |x| = \sqrt{x^2}$ 。
3 符号函数不是初等函数，因为在定义区间不连续。

函数公式

$x^{a+b}=x^a \cdot x^b$
$x^{a \cdot b}=(x^a)^b$
$\log(a\cdot b)=\log a + \log b$
$\log(a^b)=\log a \cdot \log b$
$\sin(a+b)=\sin a \cdot \cos b + \sin b \cdot \cos b$
$\sin(a-b)=\sin a \cdot \cos b - \sin b \cdot \cos b$
$\cos(a+b)=\cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b$
$\cos(a-b)=\cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b$
$\sh(a+b)=\sh a \cdot \ch b + \sh b \cdot \ch a$
$\sh(a-b)=\sh a \cdot \ch b - \sh b \cdot \ch a$
$\ch(a+b)=\ch a \cdot \ch b - \ch a \cdot \ch b$
$\ch(a-b)=\ch a \cdot \ch b + \ch a \cdot \ch b$

1.2 数列的极限

定义：设 $<! - - s w i g 0 - - >$ 为一数列，如果存在常数 $a$ ，对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，总存在正整数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，不等式$$|x_n-a|<\varepsilon$$恒成立，那么称常数 $a$ 是数列 $<! - - s w i g 1 - - >$ 的极限，或者称数列 $<! - - s w i g 2 - - >$ 收敛于 $a$ ，记为$$\lim_{n \to \infin} x_n=a,$$或$$x_n \to a(n \to \infty).$$
如果不存在，称数列 $<! - - s w i g 3 - - >$ 没有极限，或者说数列 $<! - - s w i g 4 - - >$ 是发散的，或说 $\lim_{n \to \infin} x_n$ 不存在。

定理1（极限的唯一性）：如果数列收敛，那么它的极限唯一。

定理2（收敛数列的有界性）：如果数列收敛，那么它的一定有界。

定理3（收敛数列的保号性）：如果 $\lim_{n \to \infin} x_n = a$ ，且 $a>0$ （或 $a<0$ ），那么存在正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时，都有 $x_n>0$ （或 $x_n<0$ ）。
推论：如果数列 $<! - - s w i g 5 - - >$ 从某项开始有 $x_n>0$ （或 $x_n<0$ ），且 $\lim_{n \to \infin} x_n = a$ ，那么 $a>0$ （或 $a<0$ ）。

定理4（收敛数列与其子数列的关系）：如果数列收敛于 $a$ ，那么它的任一子数列也收敛于 $a$ 。
推论：如果数列有两个子数列收敛于不同的极限，那么这个数列是发散的。

1.3 函数的极限

1.3.1 函数极限的定义

邻域：设 $x_0\in R,\sigma >0$ ，开区间 $(x_0-\sigma, x_0 +\sigma)$ 称为点 $x_0$ 的邻域，记作 $U(x_0, \sigma)$ ， $\sigma$ 称为邻域半径。
去心邻域：记作 $\mathring{U}(x_0, \sigma)$

定义1：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心域内有定义。如果存在常数 $A$ ，对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，总存在正数 $\sigma$ ，使得当满足不等式 $0<|x-x_0|<\sigma$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式$$|f(x)-A<\varepsilon|$$那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限，记作

$\lim_{x\to x_0}f(x)=A \, 或f(x)\to A(当x\to x_0)$

符号表示：$$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$$
左极限记为：$$\lim_{x \to x^{+}{0}}f(x)=A , 或f(x^{+}{0})= A$$
右极限记为：$$\lim_{x \to x^{-}{0}}f(x)=A , 或f(x^{-}{0})= A$$
左极限和右极限统称为单侧极限。存在极限的充分必要条件是 $f(x^{+}_{0})=f(x^{-}_{0})$ 。

自变量趋于无穷大的函数极限：$$\lim_{x\to \infty}f(x)=A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\exist X >0,when ,|x|>X, |f(x)-A |<\varepsilon$$

1.3.2 函数极限的性质

定理1 函数极限的唯一性 $如果\lim_{x\to x_0}f(x)存在，那么这极限唯一.$

定理2 函数极限的局部有界性 $如果\lim_{x\to x_0}f(x)=A，那么存在常数M>0和\sigma>0，使得当0<|x-x_0|<\sigma 时，有|f(x)|\leqslant M.$

定理3 函数极限的局部保号性 $如果\lim_{x\to x_0}f(x)=A，且A>0(或A<0)，那么存在常数M>0和\sigma>0，使得当0<|x-x_0|<\sigma 时，有f(x)>0(或f(x)<0).$

定理3’ $如果\lim_{x\to x_0}f(x)=A(A\not ={0})，那么存在着x_0的某一个去心邻域 \mathring{U}(x_0)，当x \in \mathring{U}(x_0)时，有|f(x)|>\frac{|A|}{2}. $

推论 $如果在x_0的某一个去心邻域内有f(x)\geqslant 0(或f(x)\leqslant 0)，且\lim_{x\to x_0}f(x)=A，那么A\geqslant 0(或A\leqslant 0).$

定理4 函数极限与数列极限的关系 $如果极限\lim_{x\to x_0}f(x)存在，\{x_n\}为函数f(x)的定义域内任意收敛于x_0的数列，且满足 x_n \not ={x_0}(n \in N_+)，那么相应的函数值数列\{f(x_n)\}必收敛，且\lim_{n\to \infty}f(x_n)=\lim_{x\to x_0}f(x).$

1.4 无穷小与无穷大

定义1 $如果函数f(x)当x\to 0（或x\to \infty）时的极限为零，那么称函数f(x)为当x \to 0（或x \to \infty）时的无穷小.$

定理1 $在自变量的同一变化过程x\to x_0（或x\to \infty）中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+\alpha，其中\alpha 是无穷小.$

定义2 $设函数f(x)在x_0的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义），如果对于任意给定的正数M，总存在正数\sigma（或正数X），当0<|x-x_0|<\sigma （或|x|>X）时，对应的函数值f(x)总满足 |f(x)>M|，则称函数f(x)为当x \to 0（或x \to \infty）时的无穷大。$

$无穷大不是极限，但是一般记为\lim_{x \to x_0} f(x)=\infty 或\lim_{x \to \infty} f(x)=\infty$

定理2 $在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，那么\frac{1}{f(x)}为无穷小；反之如果f(x)为无穷小，那么\frac{1}{f(x)}为无穷大.$

1.5 极限运算法则

定理1 两个无穷小的和是无穷小。

定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。
推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小。

定理3 $如果\lim f(x)=A, \lim g(x)=B,那么$
$(1) \lim[f(x)\plusmn g(x)]=\lim f(x)\plusmn \lim g(x)=A\plusmn B;$
$(2) \lim[f(x) \cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)=A\cdot B;$
$(3) \lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}, when B \not ={0}.$
推论1 $如果\lim f(x)存在，而c为常数，那么\lim[cf(x)]=c\lim f(x).$
推论2 $如果\lim f(x)存在，而n为正整数，那么\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^{n}.$

定理4 $设有数列\{x_n\}和\{y_n\}，如果\lim_{n \to \infty}x_n=A,\lim_{n \to \infty}y_n=B,那么$
$(1)\lim_{n \to \infty}(x_n\plusmn y_n)=A\plusmn B;$
$(2)\lim_{n \to \infty}(x_n\cdot y_n)=A\cdot B;$
$(3)\lim \frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B},when\, y_n \not ={0}, B \not ={0}.$

定理5 $如果\varphi(x) \geqslant \psi (x),而且\lim \varphi (x) =A, \lim \psi (x)=B,那么A\geqslant B.$

定理6 复合函数的极限运算法则 $设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，y=f[g(x)]在点x_0的某去心邻域内有定义，若\lim_{x \to x_0}g(x)=u_0,\lim_{u\to u_0}f(u)=A,且存在\sigma _0 >0,当x\in \mathring{U}(x_0,\sigma _0)时，有g(x) \not ={u_0}，则$

$\lim_{x\to x_0}f[g(x)]=\lim_{u\to u_0}f(u)=A.$

1.6 极限存在准则两个重要极限

夹逼准则
准则1 $如果数列{x_n},{y_n},{z_n}满足以下条件：$
$(1)从某项起，即\exist n_0 \in N_+,当n>n_0时，有y_n\leqslant x_n\leqslant z_n;$
$(2)\lim_{n\to \infty}y_n=a,\lim_{n\to \infty}z_n=a,$
$那么数列{x_n}的极限存在，且\lim_{n\to \infty}x_n=a.$

准则1’ $如果：$
$(1)x\in \mathring{U}(x_0,r)(或|x|>M)时，g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x);$
$(2)\lim g(x)=\lim h(x)=A,$
$那么\lim f(x)存在，且\lim f(x)=A.$

准则2 单调有界数列必有极限。

准则2’ $设函数f(x)在点x_0的某个左邻域内单调并且有界，则f(x)在x_0的左极限f(x_0^-)必定存在.$
柯西极限存在准则 $数列\{x_n\}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数\varepsilon，存在正整数N，使得当m>N,n>N时，有|x_n-x_m|<\varepsilon$

1.7 无穷小的比较

定义

$如果\lim \frac{\beta}{\alpha}=0，那么就说\beta 是比\alpha 高阶的无穷小，记作\beta =\omicron (\alpha);$
$如果\lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty，那么就说\beta 是比\alpha 低阶的无穷小;$
$如果\lim \frac{\beta}{\alpha}=c\not ={0}，那么就说\beta 与\alpha 是同阶的无穷小;$
$如果\lim \frac{\beta}{\alpha ^k}=c\not ={0},k>0，那么就说\beta 是关于\alpha 的k阶的无穷小;$
$如果\lim \frac{\beta}{\alpha}=1，那么就说\beta 与\alpha 是等价无穷小，记作\alpha \thicksim \beta.$

定理1 $\beta 与\alpha 是等价无穷小的充分必要条件为\, \beta = \alpha + \omicron (\alpha).$

定理2 $设\alpha \thicksim \~\alpha,\beta \thicksim \~\beta,且\lim \frac{\~\beta}{\~\alpha}存在，则\lim \frac{\beta}{\alpha}=\lim \frac{\~\beta}{\~\alpha}.$

1.8 函数的连续性与间断点

连续性定义
$设函数y=f(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义，如果$

$\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to 0}[f(x_0 +\Delta x)-f(x_0)]=0$

$那么称函数y=f(x)在点x_0连续.$

$设函数y=f(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义，如果$

$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

$那么称函数y=f(x)在点x_0连续.$

左连续 $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$
右连续 $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$

间断点定义
$设函数y=f(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义，如果$
$(1)函数在x=x_0没有定义；$
$(2)函数在x=x_0有定义，但\lim_{x\to x_0}f(x)不存在；$
$(3)\lim_{x\to x_0}f(x)\not =f(x_0)$
$那么称函数f(x)在点x_0不连续，而x_0称为函数f(x)的不连续点或者间断点.$

第一类间断点
可去间断点 $\lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x)，但\lim_{x\to x_0}f(x)不存在$
跳跃间断点 $\lim_{x\to x_0^-}f(x) \not = \lim_{x\to x_0^+}f(x)$

第二类间断点
无穷间断点，震荡间断点，其他所有非第一类间断点。

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

1.9.1

定理1 $设函数f(x)和g(x)在点x_0连续，则它们的和差f\plusmn g、积f\cdot g及商\frac{f}{g}（当g(x)\not = 0时）都在点x_0连续.$

1.9.2

定理2 $如果函数y=f(x)在区间I_x上单调增加（或者单调减少）并且连续，那么它的反函数x=f^{-1}(y)也在对应区间I_y=\{y|y=f(x),x\in I_x\}上单调增加（或者单调减少）且连续.$

定理3 $设函数y=f[g(x)]由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，\mathring{U}(x_0)\in D_{f\circ g}.若\lim_{x\to x_0}g(x)=u_0，而函数y=f(u)在u=u_0连续，则$

$\lim_{x\to x_0}f[g(x)]=\lim_{u\to u_0}f(u)=f(u_0).$

定理4 $设函数y=f[g(x)]由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，\mathring{U}(x_0)\in D_{f\circ g}.若函数u=g(x)在x=x_0连续，且g(x_0)=u_0.而函数y=f(u)在u=u_0连续，则复合函数y=f[g(x)]在x=x_0也连续.$

1.9.3

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。

一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

1.10 闭区间上连续函数的性质

1.10.1

定理1 有界性与最大值最小值定理 $在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。$

1.10.2

定理2 零点定理 $设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)\cdot f(b)<0），则在开区间(a.b)内至少有一点\xi，使f(\xi)=0.$

定理3 介值定理 $设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在区间的端点取不同的函数值f(a)=A,f(b)=B，则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点\xi，使得f(\xi)=C,(a<\xi <b).$
推论
$在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域为闭区间[m,M]，其中m与M依次为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值.$

1.10.3

定义 $设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定的正数\epsilon，总存在正数\sigma，使得对于区间I上的任意两点x_1,x_2，当|x_1-x_2|<\sigma时，有|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon,那么称函数在区间上一致连续.$

定理4 一致连续性定理 $如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么它在该区间上一致连续。$